Краткий обзор определений по теоретическому минимуму. Тема "вектора".
Определение вектора
Вектор -- это направленный отрезок, у которого известны начальная и конечная точки.
Линейная комбинация $x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2+\cdots+x_n\vec{a}_n$ называется тривиальной, если все коэффициенты $x_1,\ldots,x_n$ равны нулю, и называется нетривиальной, если хотя бы один коэффициент не равен нулю.
Определение линейно зависимых векторов
Вектора $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n$ называют линейно зависимыми, если из них можно составить хотя бы одну нетривиальную линейную комбинацию, равную $(0,0,0)$.
Определение линейно независимых векторов
Вектора $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n$ называют линейно независимыми, если из них можно составить хотя бы одну тривиальную линейную комбинацию, равную $(0,0,0)$.
Критерий линейной зависимости
Система векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n$ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные.
Необходимое условие ($\Rightarrow$)
$$ \exists\ x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2+\ldots+x_{n-1}\vec{a}_{n-1}+x_n\vec{a}_n=0, $$
такая, что $|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\ne0.$ Положим $x_{n}\ne0$. Тогда
$$ \vec{a}_n=\left(-\frac{x_1}{x_n}\right)\vec{a}_1+\left(-\frac{x_2}{x_n}\right)\vec{a}_2+\cdots+\left(-\frac{x_{n-1}}{x_n}\right)\vec{a}_{n-1} $$
Достаточное условие ($\Leftarrow$)
$\vec{a}_n=\lambda_1\vec{a}_1+\lambda_2\vec{a}_2+\cdots+\lambda_{n-1}\vec{a}_{n-1}. $ Перенесем $\vec{a}_n$ вправо:
$$\lambda_1\vec{a}_1+\lambda_2\vec{a}_2+\cdots+\lambda_{n-1}\vec{a}_{n-1}+(-1)\vec{a}_n=0$$
Т.к. есть хотя бы один коэффициент, не равный нулю $(\lambda_n=-1\Rightarrow\ne0),$ то эта линейная комбинация нетривиальная, а значит, система векторов линейно зависима.
Определение базиса
Базисом в пространстве называют упорядоченный набор трех некомпланарных векторов, таких, что если $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ --- базис, то выполняется
$$ \forall\vec{x},\quad \vec{x}=\lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3 $$
Определение проекции вектора
Проекция $\vec{a}$ на $\vec{b}$ -- это вектор $\vec{с}$, коллинеарный $\vec{b}$, конец которого есть ортогональная проекция конца вектора $\vec{a}$ на прямую, параллельную $\vec{b}$.
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением $\vec{a}\vec{b}$ векторов называют число $\xi=ab\cos\phi,$ где $\phi$ --- угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Определение левой и правой тройки векторов
Базис ${\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3}$ в пространстве называется правым, если при наблюдении с конца вектора $\vec{e}_3$ за кратчайшим поворотом вектора $\vec{e}_1$ к вектору $\vec{e}_2$ поворот осуществляется против часовой стрелки, и левым, если поворот происходит по часовой стрелке.
Определение векторного произведения
Векторным произведением $\vec{a}\vec{b}$ векторов называют вектор $\vec{N}$, такой, что:
- $N=ab\sin\phi,$ где $\phi$ --- угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$
- $\vec{N}\perp\vec{a}, \vec{N}\perp\vec{b}$
- ${\vec{a},\vec{b},\vec{c}}$ -- правая тройка
При этом модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Определение смешанного произведения
Смешанным произведением $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ векторов называют скалярное произведение $(\vec{a}[\vec{b}\times\vec{c}])$. При этом модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $\vec {a} ,\vec {b} ,\vec {c}$.
Формула вычисления скалярного произведения в декартовых координатах
Запишем скалярное произведение в декартовых координатах.
$\vec{a}=\lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3$ $\vec{b}=\xi_1\vec{e}_1+\xi_2\vec{e}_2+\xi_3\vec{e}_3$
Тогда $(\vec{a},\vec{b})=(\lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3)\cdot(\xi_1\vec{e}_1+\xi_2\vec{e}_2+\xi_3\vec{e}_3)$
Учтем, что для ортонормированного базиса из определения скалярного произведения $\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=0,$ $\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3=0,$ $\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3=0$, а $\vec{e}^2_1=\vec{e}^2_2=\vec{e}^2_3=1$.
Тогда
$(\vec{a},\vec{b})=(\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2+\lambda_3\xi_3)$
Формула вычисления векторного произведения в декартовых координатах
Векторное произведение в декартовых координатах можно представлять в виде определителя матрицы:
$$[\vec{a}\times\vec{b}]=\begin{vmatrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \newline \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \newline \xi_1 & \xi_2 & \xi_3\end{vmatrix}$$
Формула вычисления смешанного произведения в декартовых координатах
Смешанное произведение в декартовых координатах также выражается в виде определителя матрицы:
$$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\pm\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\newline b_1 & b_2 & b_3 \newline c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}$$
Причем его знак зависит от того, правая тройка ($+$) или левая ($-$).