Блог Федора Сарафанова

Вывод ускорения Кориолиса

Сначала докажем лемму:

dR⃗dt=[ω×R⃗] \frac{d\vec{R}}{dt}=[\omega\times\vec{R}]

Для доказательства перейдем к покоординатному описанию:

r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗r ⃗′=x′i′⃗+y′j′⃗+z′k′⃗\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\newline \vec{r\,}^{\prime}=x^{\prime}\vec{i^{\prime}}+y^{\prime}\vec{j^{\prime}}+z^{\prime}\vec{k^{\prime}}

Далее

v′⃗=dr′⃗dt=dx′dti′⃗+dy′dtj′⃗+dz′dtk′⃗ (относительная)\vec{v^{\prime}}=\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}= \frac{dx^{\prime}}{dt}\vec{i^{\prime}}+\frac{dy^{\prime}}{dt}\vec{j^{\prime}}+\frac{dz^{\prime}}{dt}\vec{k^{\prime}} \text{ (относительная)}

a′⃗=d2r′⃗dt2=d2x′dt2i′⃗+d2y′dt2j′⃗+d2z′dt2k′⃗ (относительное)\vec{a^{\prime}}=\frac{d^2\vec{r^{\prime}}}{dt^2}= \frac{d^2x^{\prime}}{dt^2}\vec{i^{\prime}}+\frac{d^2y^{\prime}}{dt^2}\vec{j^{\prime}}+\frac{d^2z^{\prime}}{dt^2}\vec{k^{\prime}} \text{ (относительное)}

Так как i′⃗,j′⃗,k′⃗\vec{i^{\prime}}, \vec{j^{\prime}},\vec{k^{\prime}} не инвариантны относительно неподвижной системы, то дифференцируя и их, получим полную скорость:

v⃗=dr′⃗dt=\vec{v}=\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}=%\frac{d\vec{r}}{dt}=

=[dx′dti′⃗+dy′dtj′⃗+dz′dtk′⃗]+[x′di′⃗dt+y′dj′⃗dt+z′dk′⃗dt]==\left[\frac{dx^{\prime}}{dt}\vec{i^{\prime}}+\frac{dy^{\prime}}{dt}\vec{j^{\prime}}+\frac{dz^{\prime}}{dt}\vec{k^{\prime}}\right]+ \left[x^{\prime}\frac{d\vec{i^{\prime}}}{dt}+y^{\prime}\frac{d\vec{j^{\prime}}}{dt}+z^{\prime}\frac{d\vec{k^{\prime}}}{dt}\right]=

=v′⃗+[x′[ω×i′⃗]+y′[ω×j′⃗]+z′[ω×k′⃗]]⇒=\vec{v^{\prime}}+ \left[x^{\prime}[\omega\times\vec{i^{\prime}}]+y^{\prime}[\omega\times\vec{j^{\prime}}]+z^{\prime}[\omega\times\vec{k^{\prime}}]\right]\Rightarrow

v⃗=v′⃗+[ω×r′⃗]\vec{v}=\vec{v^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]

Аналогично

dv′⃗dt=[d2x′dt2i′⃗+d2y′dt2j′⃗+d2z′dt2k′⃗]+[vx′di′⃗dt+vy′dj′⃗dt+vz′dk′⃗dt]=\frac{d\vec{v^{\prime}}}{dt}=%[\omega\times\vec{v^{\prime}}]= \left[ \frac{d^2x^{\prime}}{dt^2}\vec{i^{\prime}}+ \frac{d^2y^{\prime}}{dt^2}\vec{j^{\prime}}+ \frac{d^2z^{\prime}}{dt^2}\vec{k^{\prime}} \right]+ \left[ v^{\prime}_x\frac{d\vec{i^{\prime}}}{dt}+ v^{\prime}_y\frac{d\vec{j^{\prime}}}{dt}+ v^{\prime}_z\frac{d\vec{k^{\prime}}}{dt} \right]=

=a′⃗+[vx′[ω×i′⃗]+vy′[ω×j′⃗]+vz′[ω×k′⃗]]⇒=\vec{a^{\prime}}+ \left[v_x^{\prime}[\omega\times\vec{i^{\prime}}]+v_y^{\prime}[\omega\times\vec{j^{\prime}}]+v_z^{\prime}[\omega\times\vec{k^{\prime}}]\right]\Rightarrow

a⃗=a′⃗+[ω×v′⃗]+d[ω×r′⃗]dt=\vec{a}=\vec{a^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \frac{d[\omega\times\vec{r^{\prime}}]}{dt}=

=a′⃗+[ω×v′⃗]+[β⃗×r′⃗]+[ω×dr′⃗dt]=\vec{a^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]+ \left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right]

Причем

[ω×dr′⃗dt]=[ω×(v′⃗+[ω×r′⃗])]=\left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right]= \left[\omega\times\left(\vec{v^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]\right)\right]=

=[ω×v′⃗]+[ω×[ω×r′⃗]]=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\omega\times\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]\right]

Заметим, что [ω×r′⃗]=[ω×r′⃗⊥ω],\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]=\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega}\right], где r′⃗=r′⃗⊥ω+r′⃗∥ω\vec{r^{\prime}}=\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega}+\vec{r^{\prime}}_{\parallel\omega}.

Тогда по формуле [a[bc]]=b(ac)−c(ab):[a[bc]]=b(ac)-c(ab):

[ω×dr′⃗dt]=[ω×v′⃗]+ω(ω,r′⃗⊥ω)−ω2r′⃗⊥=\left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right]=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \omega(\omega,\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega})- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp=

=[ω×v′⃗]−ω2r′⃗⊥.=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp.

Тогда

a⃗=a′⃗+2[ω×v′⃗]+[β⃗×r′⃗]−ω2r′⃗⊥\vec{a}=\vec{a^{\prime}}+2\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp

Перепишем в виде

ma′⃗=−ma0⃗+2m[v′⃗×ω]−[β⃗×r′⃗]+ω2r′⃗⊥m\vec{a^{\prime}}=-m\vec{a_0}+ 2m\left[\vec{v^{\prime}}\times\omega\right]- \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]+ \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp

Где можно выделить поступательную, центробежную и переносную силы инерции.