Сначала докажем лемму:
$$ \frac{d\vec{R}}{dt}=[\omega\times\vec{R}] $$
Для доказательства перейдем к покоординатному описанию:
$$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\newline \vec{r\,}^{\prime}=x^{\prime}\vec{i^{\prime}}+y^{\prime}\vec{j^{\prime}}+z^{\prime}\vec{k^{\prime}}$$
Далее
$$\vec{v^{\prime}}=\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}= \frac{dx^{\prime}}{dt}\vec{i^{\prime}}+\frac{dy^{\prime}}{dt}\vec{j^{\prime}}+\frac{dz^{\prime}}{dt}\vec{k^{\prime}} \text{ (относительная)}$$
$$\vec{a^{\prime}}=\frac{d^2\vec{r^{\prime}}}{dt^2}= \frac{d^2x^{\prime}}{dt^2}\vec{i^{\prime}}+\frac{d^2y^{\prime}}{dt^2}\vec{j^{\prime}}+\frac{d^2z^{\prime}}{dt^2}\vec{k^{\prime}} \text{ (относительное)}$$
Так как $\vec{i^{\prime}}, \vec{j^{\prime}},\vec{k^{\prime}}$ не инвариантны относительно неподвижной системы, то дифференцируя и их, получим полную скорость:
$$\vec{v}=\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}=%\frac{d\vec{r}}{dt}=$$
$$=\left[\frac{dx^{\prime}}{dt}\vec{i^{\prime}}+\frac{dy^{\prime}}{dt}\vec{j^{\prime}}+\frac{dz^{\prime}}{dt}\vec{k^{\prime}}\right]+ \left[x^{\prime}\frac{d\vec{i^{\prime}}}{dt}+y^{\prime}\frac{d\vec{j^{\prime}}}{dt}+z^{\prime}\frac{d\vec{k^{\prime}}}{dt}\right]=$$
$$=\vec{v^{\prime}}+ \left[x^{\prime}[\omega\times\vec{i^{\prime}}]+y^{\prime}[\omega\times\vec{j^{\prime}}]+z^{\prime}[\omega\times\vec{k^{\prime}}]\right]\Rightarrow$$
$$\vec{v}=\vec{v^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]$$
Аналогично
$$\frac{d\vec{v^{\prime}}}{dt}=%[\omega\times\vec{v^{\prime}}]= \left[ \frac{d^2x^{\prime}}{dt^2}\vec{i^{\prime}}+ \frac{d^2y^{\prime}}{dt^2}\vec{j^{\prime}}+ \frac{d^2z^{\prime}}{dt^2}\vec{k^{\prime}} \right]+ \left[ v^{\prime}_x\frac{d\vec{i^{\prime}}}{dt}+ v^{\prime}_y\frac{d\vec{j^{\prime}}}{dt}+ v^{\prime}_z\frac{d\vec{k^{\prime}}}{dt} \right]=$$
$$=\vec{a^{\prime}}+ \left[v_x^{\prime}[\omega\times\vec{i^{\prime}}]+v_y^{\prime}[\omega\times\vec{j^{\prime}}]+v_z^{\prime}[\omega\times\vec{k^{\prime}}]\right]\Rightarrow$$
$$\vec{a}=\vec{a^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \frac{d[\omega\times\vec{r^{\prime}}]}{dt}=$$
$$=\vec{a^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]+ \left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right] $$
Причем
$$\left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right]= \left[\omega\times\left(\vec{v^{\prime}}+\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]\right)\right]=$$
$$=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\omega\times\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]\right]$$
Заметим, что $\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}\right]=\left[\omega\times\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega}\right],$ где $\vec{r^{\prime}}=\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega}+\vec{r^{\prime}}_{\parallel\omega}$.
Тогда по формуле $[a[bc]]=b(ac)-c(ab):$
$$\left[\omega\times\frac{d\vec{r^{\prime}}}{dt}\right]=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \omega(\omega,\vec{r^{\prime}}_{\perp\omega})- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp=$$
$$=\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp.$$
Тогда
$$\vec{a}=\vec{a^{\prime}}+2\left[\omega\times\vec{v^{\prime}}\right]+ \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]- \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp $$
Перепишем в виде
$$m\vec{a^{\prime}}=-m\vec{a_0}+ 2m\left[\vec{v^{\prime}}\times\omega\right]- \left[\vec{\beta}\times\vec{r^{\prime}}\right]+ \omega^2\vec{r^{\prime}}_\perp $$
Где можно выделить поступательную, центробежную и переносную силы инерции.