Блог Федора Сарафанова

Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

По определению, нормальное напряжение

σn=FnS\sigma_n=\frac{F_n}{S}

При малых деформациях верен закон Гука:

σn=Eε\sigma_n=E\varepsilon

где ε\varepsilon - относительная деформация:

ε=Δll\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}

а EE - модуль Юнга, имеющий размерность [σn][\sigma_n], характеризующий свойства материала.

Выведем классическое "школьное" представление закона Гука:

FnS=EΔll\frac{F_n}{S}=E\frac{\Delta l}{l}

Fn=ESlΔlF_n=\frac{ES}{l}\Delta l

Можно ввести обозначение k=ESl.k=\frac{ES}{l}. Тогда получаем известную формулу:

Fупр=−kΔlF_\text{упр}=-k\Delta l

Поперечная деформация

Из жизненного опыта известно, что при растяжении и сжатии материала изменяется не только его продольные размеры, но и поперечные. Введем поперечную деформацию

ε⊥=Δl⊥l⊥\varepsilon_\perp=\frac{\Delta l_\perp}{l_\perp}

Рассмотрим начальный и конечный объемы прямоугольного бруска.

V0=S0⋅l0=l⊥02⋅lV_0=S_0\cdot l_0=l_{\perp0}^2\cdot l

V=S⋅l=l⊥2⋅lV=S\cdot l=l_\perp^2\cdot l

Из определения относительной деформации можно вывести

l=l0(1+ε)l=l_0(1+\varepsilon)

l⊥=l⊥0(1+ε⊥)l_\perp=l_{\perp0}(1+\varepsilon_\perp)

Тогда

V=l⊥02l0(1+ε⊥)2(1+ε)V=l_{\perp0}^2l_0(1+\varepsilon_\perp)^2(1+\varepsilon)

V=V0(1+ε⊥)2(1+ε)V=V_0(1+\varepsilon_\perp)^2(1+\varepsilon)

Раскроем скобки:

V=V0(1+2ε⊥+ε⊥2+ε+2ε⊥ε+ε⊥2ε)V=V_0(1+2\varepsilon_\perp+\varepsilon^2_\perp +\varepsilon+2\varepsilon_\perp\varepsilon+\varepsilon^2_\perp\varepsilon)

Так как ε⊥,ε<<1,\varepsilon_\perp,\varepsilon << 1,

V=V0(1+2ε⊥+ε)V=V_0(1+2\varepsilon_\perp +\varepsilon)

Тогда

ΔV=V−V0=V0⋅(ε+2ε⊥)=V0⋅ε(1−2μ)\Delta V = V-V_0=V_0\cdot(\varepsilon+2\varepsilon_\perp)= V_0\cdot\varepsilon(1-2\mu)

где μ=−ε⊥ε\mu=-\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon} - коэффициент Пуассона. Из формулы видно, что коэффициент имеет смысл при 0≤μ≤12.0\leq\mu\leq\frac{1}2.