По определению, нормальное напряжение
$$\sigma_n=\frac{F_n}{S}$$
При малых деформациях верен закон Гука:
$$\sigma_n=E\varepsilon$$
где $\varepsilon$ - относительная деформация:
$$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}$$
а $E$ - модуль Юнга, имеющий размерность $[\sigma_n]$, характеризующий свойства материала.
Выведем классическое "школьное" представление закона Гука:
$$\frac{F_n}{S}=E\frac{\Delta l}{l}$$
$$F_n=\frac{ES}{l}\Delta l$$
Можно ввести обозначение $k=\frac{ES}{l}.$ Тогда получаем известную формулу:
$$F_\text{упр}=-k\Delta l$$
Поперечная деформация
Из жизненного опыта известно, что при растяжении и сжатии материала изменяется не только его продольные размеры, но и поперечные. Введем поперечную деформацию
$$\varepsilon_\perp=\frac{\Delta l_\perp}{l_\perp}$$
Рассмотрим начальный и конечный объемы прямоугольного бруска.
$$V_0=S_0\cdot l_0=l_{\perp0}^2\cdot l$$
$$V=S\cdot l=l_\perp^2\cdot l$$
Из определения относительной деформации можно вывести
$$l=l_0(1+\varepsilon)$$
$$l_\perp=l_{\perp0}(1+\varepsilon_\perp)$$
Тогда
$$V=l_{\perp0}^2l_0(1+\varepsilon_\perp)^2(1+\varepsilon)$$
$$V=V_0(1+\varepsilon_\perp)^2(1+\varepsilon)$$
Раскроем скобки:
$$V=V_0(1+2\varepsilon_\perp+\varepsilon^2_\perp +\varepsilon+2\varepsilon_\perp\varepsilon+\varepsilon^2_\perp\varepsilon)$$
Так как $\varepsilon_\perp,\varepsilon << 1,$
$$V=V_0(1+2\varepsilon_\perp +\varepsilon)$$
Тогда
$$\Delta V = V-V_0=V_0\cdot(\varepsilon+2\varepsilon_\perp)= V_0\cdot\varepsilon(1-2\mu)$$
где $\mu=-\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon}$ - коэффициент Пуассона. Из формулы видно, что коэффициент имеет смысл при $0\leq\mu\leq\frac{1}2.$