Задача Кеплера - фундаментальная задача механики, наряду с задачей о простом гармоническом осцилляторе.
В классической механике, задача Кеплера — это частный случай задачи двух тел, в которой два тела взаимодействуют посредством центральной силы F, изменяющейся по величине обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними:
$$ \mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\mathbf{r}_0} $$
В поле центральной силы постоянна механическая энергия:
$$ W=W_k+W_\text{a} $$
А так как $\vec{F}\parallel\vec{r}$, то момент силы равен нулю, и по теореме о изменении момента импульса
$$\frac{\mathrm{d}\vec{N}}{\mathrm{d}t}=\vec{M},$$
отсюда момент импульса $\vec{N}=const$. Так как $\vec{N}=[\vec{r}\times\vec{p}]$, то траектория лежит в плоскости векторов $(\vec{r},\vec{v})$.
Запишем скорость как сумму двух векторов:
$$\vec{v}=\vec{v}_r+\vec{v}_\phi,$$
где
$$v_r=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}, \quad v_\phi=r\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$
тогда квадрат вектора полной скорости $v$
$$v^2=v_r^2+v_\phi^2$$
а полная механическая энергия запишется как
$$W=W_\text{п}(\vec{r})+\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{mr^2\dot{\phi}^2}{2}$$
Распишем момент импульса по определению:
$$\vec{N}=[\vec{r}\times m(\vec{v}_r+\vec{v}_\phi)]= [\vec{r}\times m\vec{v}_r]+[\vec{r}\times m\vec{v}_\phi]= m[\vec{r}\times\vec{v}_\phi] $$
Тогда модуль момента импульса
$$N=mr^2\dot\phi \Rightarrow \dot\phi=\frac{N}{mr^2}$$
Можем переписать механическую энергию:
$$W=W_\text{п}(\vec{r})+\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{N^2}{2mr^2},$$
где $\frac{N^2}{2mr^2}$ — центробежная энергия.
Найдем потенциальную энергию:
$$W_\text{п}(r)-W_\text{п}(\infty)=\int_r^\infty F_r\ \textrm{d}r=$$
$$=-\int_r^\infty \frac{GMm}{r'^2} \textrm{d}r'=-\frac{Gmm}{r}=\frac{-k}{r}$$
А так как $W_\text{п}(\infty)=0$ при $r\to\infty$, то
$$W_\text{п}=-\frac{k}{r}$$
$$W_\text{цб}=\frac{N^2}{2mr^2}$$
Введем эффективную потенциальную энергию:
$$W_\text{эфф}=W_\text{цб}+W_\text{п}=\frac{N^2}{2mr^2}-\frac{k}{r}$$
С одной стороны, можем выразить $\mathrm{d}t$ через эффективную энергию:
$$W=W_\text{эфф}(\vec{r})+\frac{m\dot{r}^2}{2} \Rightarrow \dot{r}^2=\frac{2}{m}(W-W_\text{эфф})$$
Тогда
$$\mathrm{d}t=\pm\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{\frac{2}{m}(W-W_\text{эфф})}}$$
С другой стороны, можем выразить $\mathrm{d}t$ через момент импульса:
$$\dot\phi=\frac{N}{mr^2}\Rightarrow \mathrm{d}t=\frac{mr^2}{N}\mathrm{d}\phi$$
Тогда
$$\mathrm{d}\phi=\pm\frac{N\mathrm{d}r}{mr^2\sqrt{\frac{2}{m}(W-W_\text{эфф})}}$$
Два знака говорят о том, что траектория симметрична относительно полярной оси.
В качестве полярной оси возьмем апсиду -- прямую, проходящую через апоцентр и перицентр траектории.
Пусть при $\varphi=0$ будет $r=r_{min}$.
Выберем один знак и запишем интеграл:
$$\varphi(r)=\frac{N}{m}\int_{r_{min}}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2}{m}(W-W_\text{эфф})}}$$
$$W-W_\text{эфф}=W-(\frac{N^2}{2mr^2}-\frac{k}{r})$$
$$\varphi(r)=-\int_{r_{min}}^r\frac {d\left(\frac{N}{r}\right)} {\sqrt{2m(W-W_\text{эфф})}}$$
$$\varphi(r)=-\int_{r_{min}}^r\frac {d\left(\frac{N}{r}\right)} {\sqrt{2mW-\left(\frac{N^2}{r^2}-\frac{2mk}{r}\right)}}$$
$$\frac{N^2}{r^2}-\frac{2mk}{r}=\left(\frac{N}{r}-\frac{mk}{N}\right)^2-\left(\frac{mk}{N}\right)^2$$
$$\varphi(r)=-\int_{r_{min}}^r\frac {d\left(\frac{N}{r}-\frac{mk}{N}\right)} {\sqrt{\left(2mW+\left(\frac{mk}{N}\right)^2\right)-\left(\frac{N}{r}-\frac{mk}{N}\right)^2}}$$
$$\beta^2=2mW+\left(\frac{mk}{N}\right)^2$$
$$\alpha^2=\left(\frac{N}{r}-\frac{mk}{N}\right)^2$$
$$ \varphi(r)=-\int_{r_{min}}^r\frac {d\alpha} {\sqrt{\beta^2-\alpha^2}}$$
Так как согласно выбору полярной оси $\varphi=0$ при $r=r_{min},$ то
$$ \varphi(r)=-(-\arccos\frac\alpha\beta)\bigg|_{r_{min}}^r=\arccos\frac\alpha\beta$$
$$ \varphi(r)=\arccos\frac {\frac{N}{r}-\frac{mk}{N}} {\sqrt{2mW+\frac{m^2k^2}{N^2}}}= \arccos\frac {\frac{N^2}{mkr}-1} {\sqrt{1+\frac{2WN^2}{mk^2}}}$$
Сделаем замены переменной.
$p$ - параметр:
$$p=\frac{N^2}{mk}$$
$e$ - эксцентриситет:
$$e=\sqrt{1+\frac{2WN^2}{mk^2}}$$
$$\cos\varphi=\frac{\frac{p}{r}-1}{e}$$
$$\frac{p}{r}=1+e\cos\varphi$$
$$r=\frac{p}{1+e\cos\varphi}$$
Полученное уравнение известно как уравнение конических сечений.