Блог Федора Сарафанова

Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка

Краткий обзор определений по теоретическому минимуму. Тема "кривые и поверхности второго порядка".

Определение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, таких, что сумма расстояний до каждой из них от двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна (и численно равна длине большой полуоси эллипса $2a$.)

Каноническое уравнение эллипса в декартовых координатах

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b) $$

Определение гиперболы

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна (и численно равна расстоянию между вершинами этой гиперболы $2a$.)

Каноническое уравнение гиперболы в декартовых координатах

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

Определение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки фокуса $F$ и данной прямой $d$, не проходящей через точку $F$.

  • $F$ -- фокус параболы
  • $d$ -- директриса параболы
  • $p$ -- фокальный параметр, который равен расстоянию от фокуса до директрисы.

Каноническое уравнение параболы в декартовых координатах

$$ y^2=2px $$

Определение эксцентриситета эллипса (гиперболы)

Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называют отношение $\varepsilon=\frac c a$, которое может принимать значения в пределах $0\leq\varepsilon<1$ для эллипса и $1\leq\varepsilon$ для гиперболы. ($c$ -- расстояние от центра симметрии до точки фокуса)

Определение фокального параметра эллипса (гиперболы)

Фокальным параметром эллипса (гиперболы) $${p={\frac {b^{2}}{a}}}$$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса (гиперболы).

Выводится из канонических уравнений подстановкой $x=c$, $y=p$